【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD= ,AB=4.
(1)求证:M为PB的中点;
(2)求二面角B﹣PD﹣A的大小;
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
【答案】
(1)证明:如图,设AC∩BD=O,
∵ABCD为正方形,∴O为BD的中点,连接OM,
∵PD∥平面MAC,PD平面PBD,平面PBD∩平面AMC=OM,
∴PD∥OM,则 ,即M为PB的中点
(2)解:取AD中点G,
∵PA=PD,∴PG⊥AD,
∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PG⊥平面ABCD,则PG⊥AD,连接OG,则PG⊥OG,
由G是AD的中点,O是AC的中点,可得OG∥DC,则OG⊥AD.
以G为坐标原点,分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系,
由PA=PD= ,AB=4,得D(2,0,0),A(﹣2,0,0),P(0,0, ),C(2,4,0),B(﹣2,4,0),M(﹣1,2, ),
, .
设平面PBD的一个法向量为 ,
则由 ,得 ,取z= ,得 .
取平面PAD的一个法向量为 .
∴cos< >= = .
∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°
(3)解: ,平面PAD的一个法向量为 .
∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos< >|=| |=| |=
【解析】(1)设AC∩BD=O,则O为BD的中点,连接OM,利用线面平行的性质证明OM∥PD,再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点;(2)取AD中点G,可得PG⊥AD,再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD,则PG⊥AD,连接OG,则PG⊥OG,再证明OG⊥AD.以G为坐标原点,分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系,求出平面PBD与平面PAD的一个法向量,由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小;(3)求出 的坐标,由 与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
【考点精析】本题主要考查了空间角的异面直线所成的角的相关知识点,需要掌握已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则才能正确解答此题.
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【题目】已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的对称中心为M(x0 , y0),记函数f(x)的导函数为f′(x),f′(x)的导函数为f″(x),则有f″(x0)=0.若函数f(x)=x3﹣3x2 , 则可求出f( )+f( )+f( )+…+f( )+f( )的值为( )
A.4029
B.﹣4029
C.8058
D.﹣8058
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【题目】在平面直角坐标系中,椭圆: 的离心率是,且直线: 被椭圆截得的弦长为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线与圆: 相切:
(i)求圆的标准方程;
(ii)若直线过定点,与椭圆交于不同的两点、,与圆交于不同的两点、,求的取值范围.
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【题目】函数f(x)=(kx+4)lnx﹣x(x>1),若f(x)>0的解集为(s,t),且(s,t)中只有一个整数,则实数k的取值范围为( )
A.( ﹣2, ﹣ )
B.( ﹣2, ﹣ ]
C.( ﹣ , ﹣1]
D.( ﹣ , ﹣1)
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【题目】给定两个命题,命题P:函数f(x)=(a﹣1)x+3在R上是增函数; 命题q:关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根. 若p∧q为假命题,p∨q为真命题,求实数a的范围.
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【题目】已知二次函数f(x)=ax2+(2b﹣1)x+6b﹣a为偶函数,且f(x+1)﹣f(x)=2x+1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设g(x)=f(x)+λx,求函数g(x)在[0,1]内的最小值.
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【题目】设关于x的不等式|x﹣2|<a(a∈R)的解集为A,且 ∈A,﹣ A.
(1)对任意的x∈R,|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立,且a∈N,求a的值.
(2)若a+b=1,a,b∈R+ , 求 + 的最小值,并指出取得最小值时a的值.
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【题目】已知是椭圆的左、右焦点,为坐标原点,点在椭圆上,线段与轴的交点为,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)圆是以为直径的圆,直线与圆相切,并与椭圆交于不同的两点,,当,且满足时,求的面积的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.
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