Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2+（2b﹣1）x+6b﹣a为偶函数，且f（x+1）﹣f（x）=2x+1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（x）+λx，求函数g（x）在[0，1]内的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函数f（x）=ax2+（2b﹣1）x+6b﹣a为偶函数，

∴2b﹣1=0，∴b= ，

∴f（x）=ax2+3﹣a

∵f（x+1）﹣f（x）=2x+1，

∴a（x+1）2+3﹣a﹣（ax2+3﹣a）=2x+1，

∴a=1，

∴f（x）=x2+2；

（2）解：由（1）得g（x）=x2+λx+2，对称轴x=﹣

①当﹣ ＜0即λ＜0时，函数g（x）在[0，1]内的最小值为g（0）=2

②当0≤ ≤1，即0≤λ≤2时，函数g（x）在[0，1]内的最小值为g（﹣ ）=2﹣

③当 ＞1即λ＞2时，函数g（x）在[0，1]内的最小值为g（1）=3+λ．

综上所述，函数g（x）在[0，1]内的最小值为

【解析】（1）利用二次函数f（x）=ax2+（2b﹣1）x+6b﹣a为偶函数，求出b，利用f（x+1）﹣f（x）=2x+1，求出a，即可求函数f（x）的解析式；（2）由（1）得g（x）=x2+λx+2，对称轴x=﹣ ，分类讨论求函数g（x）在[0，1]内的最小值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．