Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，证明：对任意的，有.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

【解析】试题分析：（1）求导，通过讨论导函数的零点的大小确定导函数的符号，进而确定函数的单调性；（2）将问题合理等价转化为证明不等式恒成立问题，再转化为求函数的最值问题，证明即可.

试题解析：（1）由题意知：

当时，由，得且，

， ，

①当时， 在上单调递增，在上单调递减；

②当时， 在上单调递增，在上单调递减；

③当时， 在上单调递增；

④当时， 在和上单调递增，在上单调递减.

（2）当时，要证： 在上恒成立，

只需证： 在上恒成立，

令， ，

因为，

易得在上递增，在上递减，故，

由得

当时， ；当时，

所以在上递减，在上递增

所以

又，∴，即，

所以在上恒成立，

故当时，对任意的， 恒成立.