Question

12．已知函数f（x）=$\frac{4}{3}$x³-ax，在x=$\frac{1}{2}$处取得极小值，记g（x）=$\frac{1}{f′（x）}$，程序框图如图所示，若输出的结果S＞$\frac{12}{25}$，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是（　　）

• A． n≤12？
• B． n＞12？
• C． n≤13？
• D． n＞13？

Answer 1

分析 由函数f（x）=$\frac{4}{3}$x³-ax，在x=$\frac{1}{2}$处取得极小值，可求出a值，进而求出函数f（x）及函数g（x）的解析式，然后利用裂项相消法，可求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（n）的值与n的关系，分析出最后进行循环的循环变量n的终值，分析后可得判断条件．

解答 解：∵f（x）=$\frac{4}{3}$x³-ax，
∴f′（x）=4x²-a，
∵f（x）在x=$\frac{1}{2}$处取得极小值，
∴f′（$\frac{1}{2}$）=4×（$\frac{1}{2}$）²-a=0，解得a=1，
∴f（x）=$\frac{4}{3}$x³-x，
∴f′（x）=4x²-1，
∴g（x）=$\frac{1}{f′（x）}$=$\frac{1}{（2x+1）（2x-1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2x-1}$-$\frac{1}{2x+1}$），
∴S=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（n）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
若输出的结果S=$\frac{n}{2n+1}$＞$\frac{12}{25}$，解得：n＞12，
则表示累加的终值应满足n＞12，
即n≤13时，满足进入循环进行累加的条件，n＞13退出循环，
故选：C．

点评 此题重点考查了导数的应用，还考查了循环程序的程序框图、归纳推理、裂项相消求和等知识，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．