Question

数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1

1 an2 +4

=1，记S_n=a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²，若S_2n-1-S_n≤

m

30

对任意n∈N^*恒成立，则正整数m的最小值是

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出{

1

an2

}是首项为1，公差为4的等差数列，从而a_n²=

1

4n-3

，并推导出数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，由此能求出m的最小值为10．

解答： 解：∵a_n+1

1 an2 +4

=1，∴a_n+1²（

1

an2

+4）=1，
∴

1

an+12

=

1

an2

+4（n∈N^*），又a₁=1，

1

a12

=1
∴{

1

an2

}是首项为1，公差为4的等差数列，
∴

1

an2

=1+4（n-1）=4n-3，∴a_n²=

1

4n-3

∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（a_n+1²+a_n+2²+…+a_2n+1²）-（a_n+2²+a_n+3²+…+a_2n+3²）
=a_n+1²-a_2n+2²-a_2n+3²
=

1

4n+1

-

1

8n+5

-

1

8n+9

=（

1

8n+2

-

1

8n+5

）+（

1

8n+2

-

1

8n+9

）＞0，
∴数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，
数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大项为
S₃-S₁=a₂²+a₃²=

1

5

+

1

9

=

14

45

，
∵

14

45

≤

m

30

，∴m≥

28

3

，
又∵m是正整数，∴m的最小值为10．
故答案为：10．

点评：本题考查实数的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的通项公式和单调性的灵活运用．