Question

12．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，的离心率e=2，若过双曲线右焦点且与渐近线平行的直线与圆x²+y²+4x=8相切，则双曲线的方程为（　　）

• A． x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{6}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1

Answer 1

分析 运用离心率公式可得c=2a，求得圆的圆心和半径，由渐近线方程可得平行直线的方程，再由直线和圆相切的条件，可得2b+bc=2$\sqrt{3}$c，又a²+b²=c²，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．

解答 解：由题意可得e=$\frac{c}{a}$=2，
圆x²+y²+4x=8的圆心为（-2，0），半径为2$\sqrt{3}$，
由右焦点为（c，0），
由渐近线方程y=$\frac{b}{a}$x，
可得过双曲线右焦点且与渐近线平行的直线为y=$\frac{b}{a}$（x-c），
即为bx-ay-bc=0，
由直线和圆相切的条件，可得$\frac{|-2b-0-bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=2$\sqrt{3}$，
即有2b+bc=2$\sqrt{3}$c，
又a²+b²=c²，
解得a=1，b=$\sqrt{3}$，c=2，
即有椭圆的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用离心率公式和直线与圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于中档题．