Question

1．椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的长轴长等于圆C₂：x²+y²=4的直径，且C₁的离心率等于$\frac{1}{2}$，直线l₁和l₂是过点M（1，0）互相垂直的两条直线，l₁交C₁于A，B两点，l₂交C₂于C，D两点．
（Ⅰ）求C₁的标准方程；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得a=2，由离心率公式可得c，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆的方程；
（Ⅱ）设出直线m，n的方程，运用圆和直线相交的弦长公式和直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，分别求得|CD|，|AB|，再由四边形的面积公式，化简整理计算即可得到最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得2a=4，即a=2，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，解得c=1，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
则有椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）设过点M（1，0）作两条互相垂直的直线m：y=k（x-1），
直线n：y=-$\frac{1}{k}$（x-1），
圆心C₂到直线m的距离为d=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
则|CD|=2$\sqrt{4-{d}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{4+3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$，
由y=-$\frac{1}{k}$（x-1）和椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
可得（3k²+4）y²-6ky-9=0，
判别式显然大于0，y₁+y₂=$\frac{6k}{4+3{k}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{k}^{2}}$，
则|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{6k}{4+3{k}^{2}}）^{2}+\frac{36}{4+3{k}^{2}}}$
=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，
则有四边形ABCD面积为S=$\frac{1}{2}$|CD|•|AB|=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{\frac{4+3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$•$\frac{12（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$
=12•$\sqrt{\frac{1+{k}^{2}}{4+3{k}^{2}}}$=12•$\sqrt{\frac{1}{3+\frac{1}{1+{k}^{2}}}}$，
由于k²＞0，即有1+k²＞1，S＞12×$\frac{1}{2}$=6，且S＜12×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=4$\sqrt{3}$，
当k不存在，即x=1时，有|CD|=2$\sqrt{4-1}$=2$\sqrt{3}$，|AB|=4，
可得四边形ABCD的面积为$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$•4=4$\sqrt{3}$．
则有四边形ABCD的面积的最大值为4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线和圆、椭圆的位置关系，同时考查直线被圆、椭圆截得弦长的问题，运用圆的垂径定理和弦长公式，以及韦达定理是解题的关键．