Question

16．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是直角三角形，AB=AC=1，AA₁=2，点P是棱BB₁上一点，满足$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{B{B}_{1}}$（0≤λ≤1）．
（1）若$λ=\frac{1}{3}$，求直线PC与平面A₁BC所成角的正弦值；
（2）若二面角P-A₁C-B的正弦值为$\frac{2}{3}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）如图所示，建立空间直角坐标系，设平面A₁BC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$．设直线PC与平面A₁BC所成角为θ，则sinθ=$|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{CP}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{CP}|}$．
（2）设二面角P-A₁C-B的平面角为α，由图可知为锐角，由于sinα=$\frac{2}{3}$，可得cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$．由于$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{B{B}_{1}}$（0≤λ≤1），可得P（1，0，2λ）．设平面A₁CP的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₀，y₀，z₀），$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A₁（0，0，2），P$（1，0，\frac{2}{3}）$．
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（1，0，-2），$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{CP}$=$（1，-1，\frac{2}{3}）$．
设平面A₁BC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x-2z=0}\\{-x+y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（2，2，1），
设直线PC与平面A₁BC所成角为θ，
则sinθ=$|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{CP}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{CP}|}$=$\frac{\frac{2}{3}}{\sqrt{1+1+\frac{4}{9}}\sqrt{9}}$=$\frac{\sqrt{22}}{33}$．
（2）设二面角P-A₁C-B的平面角为α，由图可知为锐角，
∵sinα=$\frac{2}{3}$，∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∵$\overrightarrow{BP}$=λ$\overrightarrow{B{B}_{1}}$（0≤λ≤1），
∴P（1，0，2λ）．
∴$\overrightarrow{CP}$=（1，-1，2λ），$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=（1，0，2λ-2）．
设平面A₁CP的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₀，y₀，z₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}P}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}-{y}_{0}+2λ{z}_{0}=0}\\{{x}_{0}+（2λ-2）{z}_{0}=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（2-2λ，2，1），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2（2-2λ）+4+1}{\sqrt{9}\sqrt{（2-2λ）^{2}+5}}$=$\frac{9-4λ}{3\sqrt{（2-2λ）^{2}+5}}$．
∴$\frac{\sqrt{5}}{3}$=$\frac{9-4λ}{3\sqrt{（2-2λ）^{2}+5}}$．
化简解得：λ²+8λ-9=0，0≤λ≤1，
解得λ=1．

点评 本题考查了空间角与空间位置关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．