Question

6．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1（x∈R）
（I）求函数f（x）的最小正周期及其单调递减区间；
（Ⅱ）已知f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{3}{2}$，且α∈（0，$\frac{π}{3}$），求sinα的值．

Answer 1

分析 （I）将三角函数进行化简，然后根据三角函数的周期公式，正弦函数的单调性即可得到结论．
（II）α=（（$α+\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$），利用三角函数公式展开即可求解．

解答 解：∵函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1（x∈R），
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）（x∈R），
（I）函数f（x）的最小正周期$\frac{2π}{2}$=π．
∵$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈z，
∴$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈z，
故单调递减区间为：[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈z．
（II）∵f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）（x∈R），
∴f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{3}{2}$，2sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{2}$．
即sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{4}$，
∵α∈（0，$\frac{π}{3}$），
∴cos（$α+\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴sinα=sin（（$α+\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$）=sin（$α+\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-cos（$α+\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$$-\frac{\sqrt{7}}{4}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{7}}{8}$．

点评 本题主要考查三角函数的周期的计算，利用倍角公式和辅助角公式将函数f（x）进行化简是解决本题的关键，整体化角，转化变换．