Question

14．已知椭圆的两个焦点分别为F₁、F₂，其中F₁与抛物线x²=8y的焦点重合，过F₁且不与x轴平行的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF₂为等腰直角三角形，则e²=（　　）

• A． 7-4$\sqrt{3}$
• B． 5-2$\sqrt{6}$
• C． 9-6$\sqrt{2}$
• D． 8-2$\sqrt{15}$

Answer 1

分析 由△ABF₂是等腰直角三角形可知|AF₂|=$\sqrt{2}$|AB|=$\sqrt{2}$|BF₂|，设|AB|=|BF₂|=m，则|AF₂|=$\sqrt{2}$m，根据椭圆的定义可建立m，a之间的关系，然后根据B为直角，根据勾股定理可得a，c之间的关系，可求离心率．

解答 解：由△ABF₂是等腰直角三角形可知|AF₂|=$\sqrt{2}$|AB|=$\sqrt{2}$|BF₂|，
设|AB|=|BF₂|=m，则|AF₂|=$\sqrt{2}$m，
由椭圆定义可知，|AF₁|=2a-$\sqrt{2}$m，|BF₁|=（1+$\sqrt{2}$）m-2a，|BF₂|=4a-（$\sqrt{2}$+1）m，
∴|BF₂|=4a-（$\sqrt{2}$+1）m=m，
∴m=（4-2$\sqrt{2}$）a，
∵B=90°，
∴4（$\sqrt{2}$-1）²a²+4（2-$\sqrt{2}$）²a²=4c²
整理可得e²=9-6$\sqrt{2}$
故选：C．

点评 本题主要考查了椭圆的简单性质．椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目．应熟练掌握圆锥曲线中a，b，c和e的关系．