Question

3．已知sinα+cosα=$\frac{1}{5}$且α∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）
（1）求sinα的值；
（2）求sinα-cosα+$\frac{1}{1-sinα}$+$\frac{1}{1+sinα}$的值．

Answer 1

分析 （1）由民角三角函数关系式得到sinαcosα=-$\frac{12}{25}$，sinα＜0，cosα＞0，从而得到sinα=-$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$．
（2）由sinα=-$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$，能求出sinα-cosα+$\frac{1}{1-sinα}$+$\frac{1}{1+sinα}$的值．

解答 解：（1）∵sinα+cosα=$\frac{1}{5}$且α∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴1+2sinαcosα=$\frac{1}{25}$，∴sinαcosα=-$\frac{12}{25}$，
∴sinα＜0，cosα＞0，
（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=$\frac{49}{25}$，
∴sin$α-cosα=-\frac{7}{5}$，
解得sinα=-$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$．
∴sinα=-$\frac{3}{5}$．
（2）∵sinα=-$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$，
∴sinα-cosα+$\frac{1}{1-sinα}$+$\frac{1}{1+sinα}$
=-$\frac{3}{5}-\frac{4}{5}$+$\frac{1}{1+\frac{3}{5}}$+$\frac{1}{1-\frac{3}{5}}$
=-$\frac{7}{5}$+$\frac{5}{8}+\frac{5}{2}$
=$\frac{69}{40}$．

点评 本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式的合理运用．