Question

18．已知sin（π-α）-cos（π+α）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$（$\frac{π}{2}$＜α＜π），求sin³（$\frac{3π}{2}$-α）+cos³（$\frac{3π}{2}-α$）的值．

Answer 1

分析 由已知利用诱导公式可得sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，两边平方可解得：sinαcosα=-$\frac{7}{18}$，利用诱导公式，立方和公式化简所求后代入即可计算得解．

解答 解：∵sin（π-α）-cos（π+α）=sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，（$\frac{π}{2}$＜α＜π），
∴两边平方可得：1+2sinαcosα=$\frac{2}{9}$，解得：sinαcosα=-$\frac{7}{18}$，
∴sin³（$\frac{3π}{2}$-α）+cos³（$\frac{3π}{2}-α$）
=-cos³α-sin³α
=-（sinα+cosα）（sin²α-sinαcosα+cos²α）
=-$\frac{\sqrt{2}}{3}$（1+$\frac{7}{18}$）
=-$\frac{25\sqrt{2}}{54}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，立方和公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．