Question

8．已知数列{a_n}和{b_n}满足a_n=lg3ⁿ-lg2ⁿ⁺¹，b_n=a_3n，判断{b}_n是否为等差数列？若是，则写出它的通项公式；若不是，则说明理由．

Answer 1

分析 根据对数的运算性质将通项公式进行化简，结合等差数列的定义即可得出结论．

解答 解：∵数列{a_n}的通项公式a_n=lg3ⁿ-lg2ⁿ⁺¹=lg$\frac{{3}^{n}}{{2}^{n+1}}$，b_n=a_3n，
∴当n≥2时，b_n-b_n-1=lg$\frac{{3}^{3n}}{{2}^{3n+1}}$-lg$\frac{{3}^{3n-3}}{{2}^{3n-2}}$=$\frac{27}{8}$为常数，
故数列{b_n}为等差数列．
∵b₁=lg$\frac{27}{16}$，
∴b_n=lg$\frac{27}{16}$+（n-1）•$\frac{27}{8}$．

点评 本题主要考查等差数列的判断和证明，利用等差数列的定义是解决本题的关键．