Question

17．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的边，若a=2，C=$\frac{π}{4}$，cos$\frac{B}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，求c．

Answer 1

分析 由已知及二倍角的余弦函数公式可求cosB，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinB，结合C=$\frac{π}{4}$，利用两角和的正弦函数公式可求sinA的值，由正弦定理即可计算得解c的值．

解答 解：在△ABC中，∵cos$\frac{B}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴cosB=2cos²$\frac{B}{2}$-1=$\frac{3}{5}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$，
∵C=$\frac{π}{4}$，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}+$$\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∴由正弦定理可得：c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{7\sqrt{2}}{10}}$=$\frac{10}{7}$．

点评 本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理等知识在解三角形中的应用，熟练掌握相关公式定理是解题的关键，属于中档题．