Question

17．已知F₁，F₂是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF₁⊥PF₂，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{{\sqrt{5}}}{5}，1}）$
• B． $[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}）$
• C． $（{0，\frac{{\sqrt{5}}}{5}}]$
• D． $（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$

Answer 1

分析 解设点P（x，y），由PF₁⊥PF₂，得x²+y²=c²，与椭圆方程式联立方程组，能求出该椭圆的离心率的取值范围．

解答 解：∵F₁，F₂是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右两个焦点，
∴离心率0＜e＜1，F₁（-c，0），F₂（c，0），c²=a²-b²，
设点P（x，y），由PF₁⊥PF₂，得（x-c，y）•（x+c，y）=0，化简得x²+y²=c²，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，整理，得x²=$（2{c}^{2}-{a}^{2}）•\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}≥0$，
解得e≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线垂直等知识点的灵活运用．