Question

6．已知f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求在（0，$\frac{π}{2}$）内一条对称轴；
（2）求在（0，2π]内的零点．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的周期性求得ω的值，可得函数的解析式，再根据正弦函数的图象的对称性求得在（0，$\frac{π}{2}$）内一条对称轴．
（2）由条件利用正弦函数的零点求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z，再根据x∈（0，2π]，可得函数在（0，2π]内的零点．

解答 解：（1）根据f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的最小正周期为π，可得$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，故函数在（0，$\frac{π}{2}$）内一条对称轴为x=$\frac{π}{12}$．
（2）由题意可得，2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，k∈Z，再根据x∈（0，2π]，
可得x=$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$，$\frac{4π}{3}$，$\frac{11π}{6}$，
故函数在（0，2π]内的零点分别为：$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$，$\frac{4π}{3}$，$\frac{11π}{6}$．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、图象的对称性以及函数的零点，属于基础题．