Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{lg（-x），x＜0}\end{array}\right.$，若关于x的方程f²（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，则t的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-2]
• B． [1，+∞）
• C． [-2，1]
• D． （-∞，-2]∪[1，+∞）

Answer 1

分析 利用换元法设m=f（x），将方程转化为关于m的一元二次方程，利用根的分布建立不等式关系进行求即可．

解答 解：设m=f（x），
作出函数f（x）的图象如图：
则m≥1时，m=f（x）有两个根，
当m＜1时，m=f（x）有1个根，
若关于x的方程f²（x）+f（x）+t=0有三个不同的实根，
则等价为m²+m+t=0有2个不同的实根，且m≥1或m＜1，
当m=1时，t=-2，
此时由m²+m-2=0得m=1或m=-2，满足f（x）=1有两个根，f（x）=-2有1个根，满足条件
当m≠1时，
设h（m）=m²+m+t，
则h（1）＜0即可，即1+1+t＜0，
则t＜-2，
综上t≤-2，
故选：A．

点评 本题主要考查方程根的个数的问题，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解决本题的根据，利用数形结合以及换元法是解决本题的关键．