Question

15．在?ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点，若$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BE}$=1，则$\overrightarrow{AE}$$•\overrightarrow{AC}$=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 设AB=x，运用向量的加减运算和平面向量的基本定理，由向量AB，AD，表示向量AC，AE，BE，运用向量的数量积的定义和性质，解方程可得x，即可得到所求值．

解答 解：设AB=x，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$-$\overrightarrow{AB}$
=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$，
即有$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{BE}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AD}$²-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$
=1-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x•$\frac{1}{2}$=1，
解得x=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
即有$\overrightarrow{AE}$$•\overrightarrow{AC}$=（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$）
=$\overrightarrow{AD}$²+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$²+$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=1+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查向量的数量积的求法，注意运用向量的加减运算和数量积的性质，考查运算化简能力，属于中档题．