Question

20．若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ=120°，那么实数x为何值时，|$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow{b}$|的值最小．

Answer 1

分析 运用向量的数量积的定义，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-2，令y=|$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow{b}$|，由向量的平方即为模的平方，结合二次函数的最值的求法，即可得到所求值．

解答 解：由|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ=120°，
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos120°=2×2×（-$\frac{1}{2}$）=-2，
令y=|$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow{b}$|，则y²=|$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow{b}$|²=$\overrightarrow{a}$²-2x$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+x²$\overrightarrow{b}$²
=4+4x+4x²=4（x+$\frac{1}{2}$）²+3，
即有当x=-$\frac{1}{2}$时，|$\overrightarrow{a}$-x$\overrightarrow{b}$|的值取得最小值，且为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的平方即为模的平方，同时考查二次函数的最值的求法，属于中档题．