Question

9．函数y=sin（$\frac{3π}{4}$-x）sin（$\frac{3π}{4}$+x）的值域是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 利用三角函数中的恒等变换应用化简可得函数解析式为y=$\frac{1}{2}$cos2x，根据余弦函数的性质即可得解．

解答 解：∵y=sin（$\frac{3π}{4}$-x）sin（$\frac{3π}{4}$+x）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosx+sinx）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosx-sinx）
=$\frac{1}{2}$（cos²x-sin²x）
=$\frac{1}{2}$cos2x，
又∵cos2x∈[-1，1]．
∴y=$\frac{1}{2}$cos2x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．
故答案为：[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用及余弦函数的图象和性质，属于基础题．