Question

1．已知x＞0，y＞0，x+y+3=xy，且不等式（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立．则实数a的取值范围是a≤$\frac{37}{6}$．

Answer 1

分析 由基本不等式和题意可得x+y的范围，变形恒成立的式子由函数的单调性可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，x+y+3=xy，
∴由基本不等式可得x+y+3=xy≤（$\frac{x+y}{2}$）²，
解关于x+y的不等式可得x+y≥6，
∵不等式（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，
∴a≤（x+y）+$\frac{1}{x+y}$恒成立，
由函数单调性可得当x+y=6时（x+y）+$\frac{1}{x+y}$取最小值$\frac{37}{6}$，
∴a≤$\frac{37}{6}$，
故答案为：a≤$\frac{37}{6}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及函数的单调性，属中档题．