Question

10．求函数y=sin²x-sinx，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]的值域．

Answer 1

分析 令t=sinx，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，得到y=t²-t，t∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，利用其开口方向向上，对称轴为t=$\frac{1}{2}$，即可求得其值域．

解答 解：令t=sinx，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴t∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴∴y=t²-t，t∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∵开口方向向上，对称轴为t=$\frac{1}{2}$，
∴当t=$\frac{1}{2}$时，y_min=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{4}$，
当t=-$\frac{1}{2}$，y_max=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，
∴函数y=sin²x-sinx，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]的值域为[-$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]．

点评 本题考查三角函数的最值，着重考查二次函数的单调性与最值，考查换元思想的应用，属于中档题．