Question

1．圆C过点M（-2，0）及原点，且圆心C在直线x+y=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）定点A（1，3），由圆C外一点P（a，b）向圆C引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．
①求|PQ|的最小值及此刻点P的坐标；
②求||PC|-|PA||的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知求出线段OM的垂直平分线方程为x=-1，与直线方程x+y=0联立，求出圆心坐标，进一步求出圆的半径，则圆的方程可求；
（2）①设出P点坐标，由题意可得：|PQ|²=|PC|²-|CQ|²，结合|PQ|=|PA|可得P的横纵坐标的关系，代入两点间的距离公式，利用配方法求得|PQ|的最小值并求得点P的坐标；
②求出C关于直线l：2x+2y-5=0的对称点为C′（m，n），结合三角形两边之差小于第三边得答案．

解答 解：（1）∵M（-2，0），∴线段OM的垂直平分线方程为x=-1，
又圆心C在直线x+y=0上，联立$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴圆心C的坐标为（-1，1），则半径r=|OC|=$\sqrt{2}$，
∴圆C的方程为（x+1）²+（y-1）²=2；
（2）①设P（a，b），连结PC，CQ，
∵Q为切点，∴PQ⊥CQ，
由勾股定理得：|PQ|²=|PC|²-|CQ|²，
∵|PQ|=|PA|，∴（a+1）²+（b-1）²-2=（a-1）²+（b-3）²，
化简得2a+2b-5=0；
∴$|{PQ}|=|{PA}|=\sqrt{{{（a-1）}^2}+{{（b-3）}^2}}$=$\sqrt{{{（a-1）}^2}+{{（\frac{5-2a}{2}-3）}^2}}$=$\sqrt{2{{（a-\frac{1}{4}）}^2}+\frac{9}{8}}$，
∴当$a=\frac{1}{4}$时，${|{PQ}|_{min}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$，
此时P点坐标为$（\frac{1}{4}，\frac{9}{4}）$；
②设C关于直线l：2x+2y-5=0的对称点为C′（m，n），
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{n-1}{m+1}×（-1）=-1\\ 2×\frac{m-1}{2}+2×\frac{n+1}{2}-5=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{3}{2}\\ n=\frac{7}{2}\end{array}\right.$，∴${C^'}（\frac{3}{2}，\frac{7}{2}）$，
∴$|{|{PC}|-|{PA}|}|=|{|{P{C^'}}|-|{PA}|}|≤|{{C^'}A}|=\sqrt{{{（1-\frac{3}{2}）}^2}+{{（3-\frac{7}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
故||PC|-|PA||的最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查圆的方程的求法，考查了直线和圆位置关系的应用，训练了配方法及放缩法求最值，是中档题．