Question

5．已知F₁，F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A，B是椭圆上的两点，且满足$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$（O为坐标原点），$\overrightarrow{A{F}_{2}}$$•\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$=0，若直线AB的斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则椭圆的离心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由已知AF₂⊥F₁F₂，A（c，$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$），直线AB的方程是y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}}{2}x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得：a²b²=a⁴-2b⁴，由此能求出椭圆的离心率．

解答 解：∵$\overrightarrow{A{F}_{2}}$$•\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$=0，∴AF₂⊥F₁F₂，
设A（c，y），则$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，∴y=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$，
又∵A，B是椭圆上的两点，且满足$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$（O为坐标原点），
∴A，B关于原点对称，
∵直线AB的斜率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直线AB的方程是y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}}{2}x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得${x}^{2}=\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{\frac{1}{2}{a}^{2}+{b}^{2}}$=c²=a²-b²，
整理，得：a²b²=a⁴-2b⁴，
∴a²（a²-c²）=a⁴-2（a²-c²）²，
整理，得2a⁴-5a²c²+2c⁴=0，
∴2e⁴-5e+2=0，
解得e²=$\frac{1}{2}$或e²=2（舍），
又0＜e＜1，∴e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线方程等知识点的合理运用．