Question

已知函数f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1，
（1）求函数的最小正周期；
（2）写出该函数x∈[-π，

π

2

]的单调递减区间；
（3）求函数的最大值及相应x的取值．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据函数f（x）的解析式求出它的最小正周期．
（2）令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范围，结合x∈[-π，

π

2

]，可得函数的减区间．
（3）根据函数图象的对称轴求得函数取得最大值及相应x的取值．

解答： 解：（1）函数f（x）=2sin（2x+

π

3

）+1的最小正周期为

2π

2

=π．
（2）令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得  kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈z，
故函数的减区间为[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈z．
再根据x∈[-π，

π

2

]，可得函数的减区间为[-

11π

12

，-

5π

12

][

π

12

，

π

2

]．
（3）当2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，即 x=kπ+

π

12

，k∈z时，函数取得最大值为2．

点评：本题主要考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的增区间和最大值，属于中档题．