Question

如图所示，倾斜角为的直线经过抛物线y²=8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点.
（1）求抛物线焦点F的坐标及准线l的方程；
（2）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2为定值， 
并求此定值.

Answer 1

（1）抛物线的焦点坐标为F（2，0），准线方程为x=-2，（2）8

（1）解 由已知得2 p=8,∴=2,
∴抛物线的焦点坐标为F（2，0），准线方程为x=-2.
（2）证明 设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），直线AB的斜率为k=tan,则直线方程为y=k(x-2),
将此式代入y²=8x,得k²x²-4(k²+2)x+4k²=0,
故x_A+x_B=,
记直线m与AB的交点为E（x_E,y_E)，则
x_E==,y_E=k(x_E-2)=,
故直线m的方程为y-=-,
令y=0,得点P的横坐标x_P=+4,
故|FP|=x_P-2==,
∴|FP|-|FP|cos2=(1-cos2)==8,为定值.