Question

已知函数f（x）=ax²+（a-1）x+b的最小值为-1，且f（0）=-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在给出的坐标系中画出y=|f（x）|的简图；
（3）若关于x的方程|f（x）|²+m|f（x）|+2m+3=0在[0，+∞）上有三个不同的解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数图象的作法,函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（0）=-1，求得b的值，再根据f（x）的最小值为-1，求得a的值，可得函数f（x）的解析式．
（2）画出函数y=|f（x）|=|x²-1|的图象如图：
（3）令|f（x）|=t，t∈[0，+∞），由题意可知，方程t²+mt+2m+3=0在（0，1]和（1，+∞）上各有一解．令h（t）=t²+mt+2m+3，再分h（x）的零点有一个为1和h（x）的零点不是1两种情况，分别求出m的范围，综合可得结论．

解答： 解：（1）∵f（0）=-1，∴b=-1．
由题意得a＞0，∵f（x）=ax²+（a-1）x-1的最小值为-1，∴

-4a-(a-1)2

4a

=-1，∴a=1．
∴f（x）=x²-1． 
（2）函数y=|f（x）|=|x²-1|的图象如图：
（3）令|f（x）|=t，t∈[0，+∞），
由题意可知，方程t²+mt+2m+3=0在（0，1]和（1，+∞）上各有一解．
令h（t）=t²+mt+2m+3．
①当方程t²+mt+2m+3=0有一个根为1时，
令h（1）=0，m=-

4

3

．而当m=-

4

3

时，t=

1

3

或t=1，不符题意，舍去．
②当方程t²+mt+2m+3=0没有根为1时，
由

h(0)＞0 h(1)＜0

 解得-

3

2

＜m＜-

4

3

，∴实数m的取值范围为（-

3

2

，-

4

3

）．

点评：本题主要考查二次函数的性质，带有绝对值的函数，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．