Question

5．已知n∈N^*，若$C_n^1+2C_n^2+{2^2}C_n^3+…+{2^{n-2}}C_n^{n-1}+{2^{n-1}}=40$，则n=4．

Answer 1

分析 由题意可得${C}_{n}^{1}$•2+${C}_{n}^{2}$•2²+${C}_{n}^{3}$•2³+…+${C}_{n}^{n-1}$•2^n-1+${C}_{n}^{n}$•2ⁿ=40•2，即（1+2）ⁿ-1=80，由此求得n的值．

解答 解：∵n∈N^*，若$C_n^1+2C_n^2+{2^2}C_n^3+…+{2^{n-2}}C_n^{n-1}+{2^{n-1}}=40$，
则 ${C}_{n}^{1}$•2+${C}_{n}^{2}$•2²+${C}_{n}^{3}$•2³+…+${C}_{n}^{n-1}$•2^n-1+${C}_{n}^{n}$•2ⁿ=40•2，
即（1+2）ⁿ-1=80，∴n=4，
故答案为：4．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．