Question

已知函数f(x)=cos

x

2

-2sin2(

x

4

-

π

6

)
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及值域；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移

π

3

个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调递减区间．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=

3

sin（

x

2

+

π

3

）-1，从而可求f（x）的最小正周期及其值域；
（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得g（x）=

3

sin（

x

4

+

π

6

）-1，利用正弦函数的单调性即可求得其单调递减区间．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=cos

x

2

-（1-cos（

x

2

-

π

3

））
=cos

x

2

+cos（

x

2

-

π

3

）-1
=cos

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

3

2

sin

x

2

-1
=

3

（

3

2

cos

x

2

+

1

2

sin

x

2

）-1
=

3

sin（

x

2

+

π

3

）-1，
∴f（x）的最小正周期为T=4π，值域为[-

3

-1，

3

-1]；
（Ⅱ）将f（x）=

3

sin（

x

2

+

π

3

）-1的图象向右平移

π

3

个单位长度，得到y=

3

sin[

1

2

（x-

π

3

）+

π

3

]-1=

3

sin（

x

2

+

π

6

）-1的图象，
再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到g（x）=

3

sin（

x

4

+

π

6

）-1的图象；
令

π

2

+2kπ≤

x

4

+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
得8kπ+

4π

3

≤x≤8kπ+

16π

3

，k∈Z，
∴函数y=g（x）的单调递减区间为[8kπ+

4π

3

，8kπ+

16π

3

]，k∈Z．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换及正弦函数的单调性，考查综合运算与求解能力，属于中档题．