Question

已知点M是曲线y=

1

3

x3-2x2+3x+1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
（1）斜率最小的切线方程
（2）切线l的倾斜角的α的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）求导函数，进行配方，可得斜率最小值，从而可求切线方程；
（2）由（1）得k≥-1，即tanα≥-1，利用正切函数的单调性，可得切线l的倾斜角的α的取值范围．

解答： 解：（1）∵y=

1

3

x3-2x2+3x+1，
∴y′=x²-4x+3=（x-2）²-1≥-1，
∴当x=2时，y′=-1，y=

5

3

，
∴斜率最小的切线方程为y-

5

3

=-（x-2），即3x+3y-11=0；
（2）由（1）得k≥-1，
∴tanα≥-1，
∴α∈[0，

π

2

）∪[

3π

4

，π），
∴切线l的倾斜角的α的取值范围是[0，

π

2

）∪[

3π

4

，π）．

点评：本题考查导数的几何意义，考查切线方程，考查正切函数的单调性，正确求导是关键．