Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（|φ|≤

π

2

），该函数所表示的曲线上的一个最高点为(2，

2

)，由此最高点到相邻的最低点间曲线与x轴交于点（6，0）．
（1）求f（x）函数解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若x∈[0，8]，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）依题意知A=

2

，T=16，依次可求得ω，又6×

π

8

+φ=2kπ+π（k∈Z），|φ|≤

π

2

，可求得φ，从而得f（x）函数解析式；
（2）利用正弦函数的单调性即可求得函数f（x）的单调区间；
（3）当x∈[0，8]时，

π

8

x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，sin（

π

8

x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，于是可求其值域．

解答： 解：（1）依题意知，A=

2

，T=4（6-2）=16，令ω＞0，
则ω=

2π

T

=

π

8

，
又6×

π

8

+φ=2kπ+π（k∈Z），
∴φ=2kπ+

3π

4

（k∈Z），又|φ|≤

π

2

，
∴φ=

π

4

，
∴f（x）=

2

sin（

π

8

x+

π

4

）；
（2）由-

π

2

+2kπ≤

π

8

x+

π

4

≤-

π

2

+2kπ（k∈Z）得：16k-6≤x≤16k+2（k∈Z）
∴f（x）=

2

sin（

π

8

x+

π

4

）的单调递增区间为[16k-6，16k+2]（k∈Z）；
由

π

2

+2kπ≤

π

8

x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）得：16k+2≤x≤16k+10（k∈Z）
∴f（x）=

2

sin（

π

8

x+

π

4

）的单调递减区间为[16k+2，16k+10]（k∈Z）；
（3）∵x∈[0，8]，
∴

π

8

x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
∴sin（

π

8

x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，

2

sin（

π

8

x+

π

4

）∈[-1，

2

]．
∴当x∈[0，8]时，f（x）的值域为[-1，

2

]．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的单调性与值域，考查综合运算能力与求解能力，属于中档题．