Question

已知圆O的半径为R，由直径AB的端点B作圆的切线，从圆周上任意一点P引该线的垂线，垂足为M，连接AP，记AP=x．（1）写出AP+2PM关于x的函数关系式．
（2）求该函数的值域．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）连接PB，证明△PMB∽△PAB，得PM：PB=PB：AB，求出PM的表达式，从而得AP+2PM的函数关系式；
（2）根据二次函数的性质，求出函数在某一区间上的值域即可．

解答： 解：（1）如图所示，连接PB，
∵∠PBM=∠A，∠M=∠APB=90°，
∴△PMB∽△BPA；
∴PM：PB=PB：AB，
∴PM=

PB2

AB

=

(2R)2-x2

2R

，
∴AP+2PM=x+

4R2-x2

R

=-

1

R

x²+x+4R（0＜x＜2R）；
（2）∵函数y═-

1

R

x²+x+4R（0＜x＜2R）是二次函数，且a=-

1

R

＜0，
∴函数y在x=

R

2

时取得最大值y_最大值=

17R

4

，
在x=0时，y=4R，x=2R时，y=2R；
∴函数y=-

1

R

x²+x+4R（0＜x＜2R）的值域是（2R，

17R

4

]．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、圆中直径所对的圆周角等于90°以及求二次函数的值域问题，是综合题．