Question

某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室（如图所示），ABCD是一块边长为50m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40m，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中G、M分别在AB和AD上，设矩形AGHM的面积为S，∠HCF=θ，请将S表示为θ的函数，并指出当点H在何处时，该健身室的面积最大，最大面积是多少？

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：应用题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：延长GH交CD于N，则NH=40sinθ，CN=40cosθ．将面积表示为S=（50-40cosθ）（50-40sinθ）．利用三角函数的性质化简并利用二次函数求出最值．从而解得本题

解答： 解：延长GH交CD于N，则NH=40sinθ，CN=40cosθ．
∴HM=ND=50-40cosθ．AM=50-40sinθ．
∴S=（50-40cosθ）（50-40sinθ）
=100[25-20（sinθ+cosθ）+16sinθcosθ]，（0≤θ≤

π

2

）
令t=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)，
则sinθcosθ=

t2-1

2

，且t∈[1，

2

]．
∴S=100[25-20t+8（t²-1）]
=800(t-

5

4

)2+450．
又∵t∈[1，

2

]，
∴当t=1时，S取最大值500．
此时，

2

sin(θ+

π

4

)=1，
∴sin(θ+

π

4

)=

2

2

．
∵

π

4

≤θ+

π

4

≤

3π

4

，
∴θ+

π

4

=

π

4

或

3π

4

即θ=0或θ=

π

2

．
答：当点H在

EF

的端点E或F处时，该健身室的面积最大，最大面积为500m²．

点评：本题考查三角函数的图象和性质，函数求最值等知识的综合运用．属于中档题．