Question

（本小题满分14分）
设动圆过点，且与定圆内切，动圆圆心的轨迹记为曲线，点的坐标为．
（1）求曲线的方程；
（2）若点为曲线上任意一点，求点和点的距离的最大值；
（3）当时，在（2）的条件下，设是坐标原点，是曲线上横坐标为的点，记△的面积为，以为边长的正方形的面积为．若正数满足，问是否存在最小值？若存在，求出此最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（本小题满分14分）
（1）.    
（2） ．
（3）存在最小值．

（本小题满分14分）
解: （1）定圆圆心为，半径为.     --------------------------------------------1分
设动圆圆心为，半径为，由题意知，，，      ----------------------------------------------------------------2分
因为,
所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，    -------------3分
故曲线的方程为.     --------------------------------------------------------4分
（2）设，则

，      -----------------------------------------------------5分
令，，所以，
当，即时，在上是减函数，
 ；          ----------------------------------------------6分
当，即时，在上是增函数，在上是减函数，则；                     -----------------------7分
当，即时，在上是增函数，
．   -----------------------------------------------------------8分
所以， ．              --------------------------9分
（3）当时,,于是,.
若正数满足条件，则， -------------------------10分
即，所以 .       -----------------------------11分
令，设，则，，于是

所以，当，即，时，，
----------------------------------------------13分
所以， ，即．所以，存在最小值． ------------------------14分
另解：当时,,于是,.
若正数满足条件，则， -------------------------10分
即，所以 .       ---------------------------11分
令，则，
由,得.
当时，；当时，.
故当时，， ---------------------------------------------13分
所以， ，即．所以，存在最小值．  -----------------------14分