【题目】已知点,,椭圆C:()的离心率为,过点且斜率为1的直线被椭圆C截得的线段长为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线不经过点,且与C相交于A,B两点.若直线与直线的斜率的和为,证明:过定点.
【答案】(1);(2)证明见解析
【解析】
(1)联立直线的方程和椭圆方程,由弦长公式,结合椭圆的离心率即可求得椭圆方程;
(2)设出直线的方程,联立椭圆方程,根据韦达定理,结合直线与直线的斜率的和为,即可容易证明.
(1)由题意知,,则,
于是椭圆C的方程可化为,
直线的方程为,
联立得.
设,为两交点,
则,, 由得(*)
再由弦长公式得,
解得代入(*)成立,从而,
所以椭圆C的方程为.
(2)设直线与的斜率分别为,,
如果与x轴垂直,设:,
由题设知且,
可得A,B坐标分别为,,
则,得,
此时的方程为,与椭圆只有一个公共点,与题意不符.
从而可设:()
将代入
得.
由题设可知,
设,则,
而
,
由题设知得,
即,
解得,代入,得,
此时,
所以过定点.
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【题目】如图,有一种游戏画板,要求参与者用六种颜色给画板涂色,这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2,其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色,金色1、金色2是两种不同的颜色,要求红色不在两端,黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻,则不同的涂色方案有( )
A.120种B.240种C.144种D.288种
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【题目】已知椭圆的右焦点为,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为,且与短轴两端点的连线相互垂直.
(1)求椭圆的方程;
(2)若圆上存在两点,,椭圆上存在两个点满足:三点共线,三点共线,且,求四边形面积的取值范围.
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【题目】为迎接“五一”节的到来,某单位举行“庆五一,展风采”的活动.现有6人参加其中的一个节目,该节目由两个环节可供参加者选择,为增加趣味性,该单位用电脑制作了一个选择方案:按下电脑键盘“Enter”键则会出现模拟抛两枚质地均匀骰子的画面,若干秒后在屏幕上出现两个点数和,并在屏幕的下方计算出的值.现规定:每个人去按“Enter”键,当显示出来的小于时则参加环节,否则参加环节.
(1)求这6人中恰有2人参加该节目环节的概率;
(2)用分别表示这6个人中去参加该节目两个环节的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望.
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【题目】某工厂有两台不同机器和生产同一种产品各10万件,现从各自生产的产品中分别随机抽取20件,进行品质鉴定,鉴定成绩的茎叶图如图所示:
该产品的质量评价标准规定:鉴定成绩达到的产品,质量等级为优秀;鉴定成绩达到的产品,质量等级为良好;鉴定成绩达到的产品,质量等级为合格.将这组数据的频率视为整批产品的概率.
(1)完成下列列联表,以产品等级是否达到良好以上(含良好)为判断依据,判断能不能在误差不超过0.05的情况下,认为机器生产的产品比机器生产的产品好;
生产的产品 | 生产的产品 | 合计 | |
良好以上(含良好) | |||
合格 | |||
合计 |
(2)根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,从两台不同机器和生产的产品中各随机抽取2件,求4件产品中机器生产的优等品的数量多于机器生产的优等品的数量的概率;
(3)已知优秀等级产品的利润为12元/件,良好等级产品的利润为10元/件,合格等级产品的利润为5元/件,机器每生产10万件的成本为20万元,机器每生产10万件的成本为30万元;该工厂决定:按样本数据测算,两种机器分别生产10万件产品,若收益之差达到5万元以上,则淘汰收益低的机器,若收益之差不超过5万元,则仍然保留原来的两台机器.你认为该工厂会仍然保留原来的两台机器吗?
附:独立性检验计算公式:.
临界值表:
0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【题目】出版商为了解某科普书一个季度的销售量(单位:千本)和利润(单位:元/本)之间的关系,对近年来几次调价之后的季销售量进行统计分析,得到如下的10组数据.
序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
2.4 | 3.1 | 4.6 | 5.3 | 6.4 | 7.1 | 7.8 | 8.8 | 9.5 | 10 | |
18.1 | 14.1 | 9.1 | 7.1 | 4.8 | 3.8 | 3.2 | 2.3 | 2.1 | 1.4 |
根据上述数据画出如图所示的散点图:
(1)根据图中所示的散点图判断和哪个更适宜作为销售量关于利润的回归方程类型?(给出判断即可,不需要说明理由)
(2)根据(1)中的判断结果及参考数据,求出关于的回归方程;
(3)根据回归方程设该科普书一个季度的利润总额为(单位:千元),当季销售量为何值时,该书一个季度的利润总额预报值最大?(季利润总额=季销售量×每本书的利润)
参考公式及参考数据:
①对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的公式分别为.
②参考数据:
6.50 | 6.60 | 1.75 | 82.50 | 2.70 |
表中.另:.计算时,所有的小数都精确到0.01.
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【题目】如图,在单位正方体中,点P在线段上运动,给出以下四个命题:
异面直线与间的距离为定值;
三棱锥的体积为定值;
异面直线与直线所成的角为定值;
二面角的大小为定值.
其中真命题有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】青岛二中学生民议会在周五下午高峰时段,对公交路甲站和线乙站各随机抽取了位乘客,统计其乘车等待时间(指乘客从等车到乘上车的时间,乘车等待时间不超过分钟).将统计数据按,,,…,分组,制成频率分布直方图:
假设乘客乘车等待时间相互独立.
(1)此时段,从甲站的乘客中随机抽取人,记为事件;从乙站的乘客中随机抽取人,记为事件.若用频率估计概率,求“两人乘车等待时间都小于分钟”的概率;
(2)此时段,从乙站的乘客中随机抽取人(不重复抽取),抽得在的人数为,求随机变量的分布列与数学期望.
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【题目】(本小题满分12分)如图所示,是一个矩形花坛,其中米,米.现将矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛,要求:在上,在上,对角线过点,且矩形的面积小于150平方米.
(1)设长为米,矩形的面积为平方米,试用解析式将表示成的函数,并确定函数的定义域;
(2)当的长度是多少时,矩形的面积最小?并求最小面积.
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