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已知函数为自然对数的底数).
(1)求曲线处的切线方程;
(2)若的一个极值点,且点满足条件:.
(ⅰ)求的值;
(ⅱ)若点是三个不同的点, 判断三点是否可以构成直角三
角形?请说明理由。

(1);(2);点可构成直角三角形.

解析试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线方程、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值、向量垂直的充要条件等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,对求导,将切点的横坐标1代入到中得到切线的斜率,代入到中得到切点的纵坐标,从而利用点斜式得到切线方程;第二问,先求函数的定义域,令,得到方程的根,将定义域断开,判断函数的单调性,从而求出函数极值;第三问,先排除几个特例情况,在一般情况中,要证明三角形为直角三角形,只需判断2边垂直,用向量垂直的充要条件证明即可.
试题解析:(1),又,所以曲线处的切线方程为,即
(2)(ⅰ)对于,定义域为
时,,∴
时,;当时,,∴
所以存在唯一的极值点,∴,则点
(ⅱ)若,则,与条件不符,
从而得.同理可得
,则,与条件不符,从而得
由上可得点两两不重合.


从而,点可构成直角三角形.
考点:导数的运算、利用导数求曲线的切线方程、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值、向量垂直的充要条件.

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

设函数).
(1)求的单调区间;(4分)
(2)求所有实数,使恒成立.(8分)
(注:为自然对数的底数)

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近年来,某企业每年消耗电费约24万元,为了节能减排,决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网,安装这种供电设备的工本费(单位:万元)与太阳能电池板的面积(单位:平方米)成正比,比例系数约为0.5.为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积(单位:平方米)之间的函数关系是为常数).记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.
(1)试解释的实际意义,并建立关于的函数关系式;
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设函数
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为圆周率,为自然对数的底数.
(1)求函数的单调区间;
(2)求这6个数中的最大数与最小数;
(3)将这6个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论.

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