【题目】从数列中取出部分项组成的数列称为数列的“子数列”.
(1)若等差数列的公差,其子数列恰为等比数列,其中,,,求;
(2)若,,判断数列是否为的“子数列”,并证明你的结论.
【答案】(1)3n﹣1﹣n(2)见解析
【解析】
(1)运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式,求得首项和公差的关系,可得等比数列的公比,结合等比数列的通项公式,可得kn=23n﹣1﹣1,再由数列的分组求和,即可得到所求和;
(2)数列{bn}为{an}的“子数列”.由3k﹣2=4n,可得3k=4n+2,运用二项式定理即可得证.
(1)等差数列{an}的公差d≠0,其子数列{a}恰为等比数列,
其中k1=1,k2=5,k3=17,可得aa1,aa5,aa17,
且有a52=a1a17,即(a1+4d)2=a1(a1+16d),
化为a1=2d,则an=a1+(n﹣1)d=(n+1)d,
子数列{a}为首项为2d,公比为3的等比数列,
则a2d3n﹣1=(kn+1)d,可得kn=23n﹣1﹣1,
则k1+k2+…+kn=(2+6+…+23n﹣1)﹣n
n=3n﹣1﹣n;
(2)若an=3n﹣2,bn=4n,数列{bn}为{an}的“子数列”.
由3k﹣2=4n,可得3k=4n+2,
由4n=(1+3)n=1+C3+C32+…+3n,
即有4n+2=3(1+CC3+…+3n﹣1),显然为3的倍数,
故数列{bn}为{an}的“子数列”.
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【题目】给出下列命题:
①,不等式恒成立;
②若,则;
③“若且,则”的逆否命题;
④若命题,命题,则命题是真命题.
其中,真命题为( )
A.①③④B.①②C.①②③D.②③④
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【题目】2019年,随着中国第一款5G手机投入市场,5G技术已经进入高速发展阶段.已知某5G手机生产厂家通过数据分析,得到如下规律:每生产手机万台,其总成本为,其中固定成本为800万元,并且每生产1万台的生产成本为1000万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入万元满足
(1)将利润表示为产量万台的函数;
(2)当产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少万元?
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【题目】已知两点,,给出下列曲线方程:(1);(2);(3);(4),在曲线上存在点满足的所有曲线是( )
A.(1)(2)(3)(4)B.(2)(3)
C.(1)(4)D.(2)(3)(4)
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【题目】若数列同时满足:①对于任意的正整数, 恒成立;②对于给定的正整数, 对于任意的正整数恒成立,则称数列是“数列”.
(1)已知判断数列是否为“数列”,并说明理由;
(2)已知数列是“数列”,且存在整数,使得, , , 成等差数列,证明: 是等差数列.
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【题目】如图,已知三棱锥O—ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点.
(1)求异面直线BE与AC所成角的余弦值;
(2)求二面角A—BE—C的余弦值.
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【题目】已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.
(1)求f(8)的值;
(2)求不等式f(x)-f(x-2)>3的解集.
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