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【题目】从数列中取出部分项组成的数列称为数列子数列”.

1)若等差数列的公差,其子数列恰为等比数列,其中,求

2)若,判断数列是否为子数列,并证明你的结论.

【答案】13n1n(2)见解析

【解析】

1)运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式,求得首项和公差的关系,可得等比数列的公比,结合等比数列的通项公式,可得kn23n11,再由数列的分组求和,即可得到所求和;

2)数列{bn}{an}的“子数列”.由3k24n,可得3k4n+2,运用二项式定理即可得证.

1)等差数列{an}的公差d0,其子数列{a}恰为等比数列,

其中k11k25k317,可得aa1aa5aa17

且有a52a1a17,即(a1+4d2a1a1+16d),

化为a12d,则ana1+n1d=(n+1d

子数列{a}为首项为2d,公比为3的等比数列,

a2d3n1=(kn+1d,可得kn23n11

k1+k2++kn=(2+6++23n1)﹣n

n3n1n

2)若an3n2bn4n,数列{bn}{an}的“子数列”.

3k24n,可得3k4n+2

4n=(1+3n1+C3+C32++3n

即有4n+231+CC3++3n1),显然为3的倍数,

故数列{bn}{an}的“子数列”.

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