Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=

π

3

，cosA=

4

5

，b=

3

．
（1）求边a的大小；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用已知条件求出sinA，通过正弦定理求出边a的大小；
（2）利用余弦定理直接求出c，然后求△ABC的面积．

解答： 解：（1）∵cosA=

4

5

，A∈(0，π)，
∴sinA=

3

5

，∵B=

π

3

，b=

3

，
∴在△ABC中，由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，
可得：a=

bsinA

sinB

=

3 × 3 5

3 2

=

6

5

．
（2）∵B=

π

3

，b=

3

，a=

6

5

，
∴△ABC中，由余弦定理知b²=a²+c²-2accosB，
即 (

3

)2=(

6

5

)2+c2-2×

6

5

×c×

1

2

，
整理得  25c²-30c-39=0（c＞0）．
解得 c=

3+4 3

5

，
∴△ABC的面积S=

1

2

acsinB=

1

2

×

6

5

×

3+4 3

5

×

3

2

=

36+9 3

50

．

点评：本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．