Question

已知函数f(x)=cos(

π

3

+x)cos(

π

3

-x)+

3

sinxcosx+

1

4

．
（1）求函数f（x）的最小正周期，以及x∈[-

π

6

，

π

3

]时f（x）的值域；
（2）若f(θ+

π

12

)=

1

3

，θ∈(

π

4

，

π

2

)，求sin2θ的值．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用三角恒等变换可化简f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x+

π

6

），利用正弦函数的性质可求函数f（x）的最小正周期，以及x∈[-

π

6

，

π

3

]时f（x）的值域；
（2）θ∈(

π

4

，

π

2

)⇒(2θ+

π

3

)∈(

5π

6

，

4π

3

)，利用同角三角函数间的关系式及两角差的正弦即可求得sin2θ的值．

解答： 解：（1）f(x)=(cos

π

3

cosx-sin

π

3

sinx)(cos

π

3

cosx+sin

π

3

sinx)+

3

2

sin2x+

1

4

=

1

4

cos2x-

3

4

sin2x+

3

2

sin2x+

1

4

=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=sin(2x+

π

6

)，
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π…．（4分）
当-

π

6

≤x≤

π

3

时，-

π

3

≤2x≤

2π

3

，-

π

6

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
∴x∈[-

π

6

，

π

3

]时f（x）的值域为[-

1

2

，1]…．（8分）
（2）f(θ+

π

12

)=

1

3

，即sin(2θ+

π

3

)=

1

3

，
∵θ∈(

π

4

，

π

2

)，2θ+

π

3

∈(

5π

6

，

4π

3

)，
∴cos(2θ+

π

3

)=-

2 2

3

，
∴sin2θ=sin[(2θ+

π

3

)-

π

3

]
=sin(2θ+

π

3

)cos

π

3

-cos(2θ+

π

3

)sin

π

3

=

1

3

×

1

2

-(-

2 2

3

)×

3

2

=

1+2 6

6

…．（12分）

点评：本题考查三角恒等变换的应用及同角三角函数间的关系式的应用，考查正弦函数的性质及两角差的正弦，考查转化思想．