Question

已知α∈(

π

2

，π)，且sinα=

4

5

，tan（α-β）=-1，求：
（1）tanβ的值；
（2）2cos²β-

4

5

tan

α

2

的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用同角三角函数间的关系与两角差的正切即可求得tanβ的值；
（2）利用二倍角的余弦与半角公式将所求的关系式转化为原式=1+

1-tan2β

1+tan2β

-

4

5

×

1-cosα

sinα

，代入数据计算即可．

解答： 解：（1）∵sinα=

4

5

，α∈(

π

2

，π)，
∴cosα=-

1-sin2α

=-

3

5

，
∴tanα=-

4

3

，又tan（α-β）=-1，
∴tanβ=tan[α-（α-β）]=

tanα-tan(α-β)

1+tanαtan(α-β)

=

- 4 3 -(-1)

1- 4 3 ×(-1)

=-

1

7

．
（2）2cos²β-

4

5

tan

α

2

=1+cos2β-

4

5

×

1-cosα

sinα

=1+

1-tan2β

1+tan2β

-

4

5

×

1-cosα

sinα

=1-

24

25

-

4

5

×

1-(- 3 5 )

4 5

=

1

25

-

8

5

=-

39

25

．

点评：本题考查同角三角函数间的关系式的应用，考查二倍角的余弦与半角公式的应用，考查转化思想．