Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD的中点．
（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求三棱锥P-BEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作FM∥CD交PC于M，连接ME．证明AF∥EM，然后证明直线AF∥平面PEC．
（Ⅱ）连接ED，证明AB⊥平面PEF．求出三角形PEF的面积，利用V_P-BEF=V_B-PEF求解即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M，连接ME．          …（1分）
∵点F为PD的中点，∴$FM_=^{∥}\frac{1}{2}CD$，
又$AE_=^{∥}\frac{1}{2}CD$，∴$AE_=^{∥}FM$，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，…（2分）
∵AF?平面PEC，EM?平面PEC，…（3分）
∴直线AF∥平面PEC．                              …（4分）
（Ⅱ）连接ED，在△ADE中，AD=1，$AE=\frac{1}{2}$，∠DAE=60°，
∴ED²=AD²+AE²-2AD×AE×cos60°=${1^2}+{（{\frac{1}{2}}）^2}-2×1×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$，∴$ED=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴AE²+ED²=AD²，∴ED⊥AB．                                        …（5分）
PD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PD⊥AB，…（6分）
PD∩ED=D，PD?平面PEF，ED?平面PEF，…（7分）
∴AB⊥平面PEF．                                   …（8分）
${S_{△PEF}}=\frac{1}{2}×PF×ED=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{8}$，…（9分）
∴三棱锥P-BEF的体积：V_P-BEF=V_B-PEF            …（10分）
=$\frac{1}{3}×{S_{△PEF}}×BE$…（11分）
=$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{8}×\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{48}$．                                              …（12分）

点评 本题考查空间几何体的体积，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．