Question

已知数列{a_n}为等差数列，且公差不为0，{b_n}为等比数列，a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₄=b₃．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）设c_n=n²a_n，其前n项和为S_n，求证：3≤

3

S1

+

5

S2

+…+

2n+1

Sn

＜4．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意推导出（1+d）²=1+3d，解得d=1．由此能求出{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）依题意cn=n2an=n3，从而得到S_n=

1

4

n2(n+1)2，由此利用裂项求和法和放缩法能证明3≤

3

S1

+

5

S2

+…+

2n+1

Sn

＜4．

解答： （Ⅰ）解：设等差数列的公差为d，
则由题意知a₂=1+d，a₄=1+3d…．（2分）
∵{b_n}为等比数列，a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₄=b₃，
∴a22=a1•a4，
即（1+d）²=1+3d…（4分）
整理，得d²=d，又d≠0，解得d=1．…（5分）
∴a_n=1+（n-1）=n．…（6分）
（Ⅱ）证明：依题意cn=n2an=n3．（7分）
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=1³+2³+…+n³=

1

4

n2(n+1)2…．（8分）
∴

2n+1

Sn

=

4(2n+1)

n2(n+1)2

=4

(n+1)2-n2

n2(n+1)2

=4(

1

n2

-

1

(n+1)2

)…．（10分）
∴

3

S1

+

5

S2

+…+

2n+1

Sn

＜4(

1

12

-

1

22

)+4(

1

22

-

1

32

)+…+4(

1

n2

-

1

(n+1)2

)
=4(1-

1

(n+1)2

)＜4…．（12分）
∵

2n+1

Sn

＞0，∴

3

S1

+

5

S2

+…+

2n+1

Sn

≥

3

S1

=3
综上所述：3≤

3

S1

+

5

S2

+…+

2n+1

Sn

＜4…..（14分）

点评：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式，考查考生分析问题、解决问题的能力．对于第（Ⅰ）问，由已知条件递推关系可求出公差d，进而可求出{a_n}，{b_n}的通项公式；对于第（Ⅱ）问考察裂项求和法的合理运用．