Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的集合：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式f（kx）=

k

2

+f（x）恒成立．现有两个函数：f（x）=ax+b（a≠0），g（x）=log₂x，则函数f（x）、g（x）与集合M的关系为（　　）

• A、f（x）∈M，g（x）∈M
• B、f（x）∉M，g（x）∈M
• C、f（x）∈M，g（x）∉M
• D、f（x）∉M，g（x）∉M

Answer 1

考点：函数恒成立问题,元素与集合关系的判断

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：分别对两个函数，利用存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式f（kx）=

k

2

+f（x）恒成立，即可得出结论．

解答： 解：（1）若f（x）=ax+b∈M，则存在非零常数k，对任意x∈D均有f（kx）=akx+b=

k

2

+f（x），
即a（k-1）x=

k

2

恒成立，得

k-1=0 k=0

无解，所以f（x）∉M．
（2）log₂（kx）=

k

2

+log₂x，则log₂k=

k

2

，k=4，k=2时等式恒成立，所以f（x）=log₂x∈M．
故选：B．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查新定义，正确理解新定义是关键．