Question

6．已知向量$\overrightarrow{m}$=（1，1），向量$\overline{n}$与向量$\overrightarrow{m}$的夹角为$\frac{3}{4}$π，且$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-1．
（1）求向量$\overrightarrow{n}$；
（2）若向量$\overrightarrow{n}$与向量$\overrightarrow{q}$=（1，0）的夹角为$\frac{π}{2}$，向量$\overrightarrow{p}$=（2sinA，4cos²$\frac{A}{2}$），求|2$\overrightarrow{n}+\overrightarrow{p}$|的值．

Answer 1

分析 （1）设向量$\overrightarrow{n}$=（x，y），由向量数量积的定义和坐标表示，解方程可得x，y；
（2）由题意可得$\overrightarrow{n}$=（0，-1），再由向量的模的公式，结合二倍角的余弦公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）设向量$\overrightarrow{n}$=（x，y），
则x+y=-1，$\sqrt{2}$•$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$•（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-1，
解得x=0，y=-1或x=-1，y=0．
即有$\overrightarrow{n}$=（0，-1）或（-1，0）；
（2）由题意可得x=0，则$\overrightarrow{n}$=（0，-1），
2$\overrightarrow{n}+\overrightarrow{p}$=（2sinA，4cos²$\frac{A}{2}$-2）=（2sinA，2cosA），
即有|2$\overrightarrow{n}+\overrightarrow{p}$|=$\sqrt{4si{n}^{2}A+4co{s}^{2}A}$=2．

点评 本题考查向量的数量积的定义和坐标表示，考查二倍角的余弦公式和同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．