Question

11．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）证明：f（x）在定义域上是增函数；
（3）解不等式f（x（x+$\frac{1}{2}$））≤0．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法令x=y=1，即可求f（1）的值；
（2）根据抽象函数的关系结合函数单调性的定义即可证明：f（x）在定义域上是增函数；
（3）根据函数的单调性即可解不等式f（x（x+$\frac{1}{2}$））≤0．

解答 解：（1）∵对任意的x＞0，y＞0，f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，结合f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
证明：（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
∴$f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）=f（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}），因{x}_{1}＜{x}_{2}，即\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
∴f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁）
∴函数f（x）是定义在（0，+∞）上为增函数
解：（3）∵f（1）=0，
∴不等式f（x（x+$\frac{1}{2}$））≤0等价为f（x（x+$\frac{1}{2}$））≤f（1）．
∵f（x）是定义在（0，+∞）上为增函数
∴$\left\{\begin{array}{l}{x（x+\frac{1}{2}）＞0}\\{x（x+\frac{1}{2}）≤1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0或x＜-\frac{1}{2}}\\{\frac{1-\sqrt{17}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$＜x＜$-\frac{1}{2}$或0＜x＜$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，
即不等式的解集为（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$-\frac{1}{2}$）∪（0，$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$）

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法．结合函数的单调性是解决本题的关键．