Question

已知函数是奇函数，且满足

(1) 求实数，的值；

(2) 试指出函数的单调区间（不必证明），

并用定义法证明函数在区间的单调性；

(3) 是否存在实数同时满足以下两个条件：

① 不等式对恒成立；

② 方程在上有解．若存在，试求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由，解得b=4，  

由（x≠0）是奇函数，得恒成立，

即；              

（2）由（1）知，，任取，，

，
∴，
∴，                          

所以，函数f（x）在区间(0，2]单调递减；                 

类似地，可证f（x）在区间（2，+∞）单调递增。

（3）对于条件①：

由（2）可知函数f（x）在x∈（0，+∞）上有最小值   

故若对x∈（0，+∞）恒成立，    

则需，∴；                   

对于条件②：由（2）可知函数f（x）在（-∞，-2）单调递增，

在[-2，0)单调递减，                                    

∴函数f（x）在[-6，-2]单调递增，在[-2，-1]单调递减，       

又，，
所以函数f（x）在[-6，-1]上的值域为，        

若方程f（x）=k在[-6，-1]有解，则需，
若同时满足条件①②，则需

故当时，条件①②同时满足．