Question

设点A、B为抛物线y²=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，M是垂足，求点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出P，Q，M的坐标，由已知得到三点坐标的关系，然后分l的斜率存在和不存在分析，当斜率存在时，设出直线l的方程，和抛物线联立后结合根与系数的关系求得M的轨迹．

解答： 解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x，y），
则x₁•x₂+y₁•y₂=0  ①，

y

x

•

y1-y2

x1-x2

=-1  ②，
当l垂直于x轴时，M（4P，0），
当l斜率存在时，由题意可知斜率k不会为0，
设l_AB：y=kx+b，
联立

y=kx+b y2=4px

，得k²x²+（2kb-4p）x+b²=0，
∴x1+x2=

4p-2kp

k2

，x1x2=

b2

k2

，
y1y2=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=

4pb

k

，
∵x₁•x₂+y₁•y₂=0，
∴x1•x2+y1•y2=

b2

k2

+

4pb

k

=0，
即k=-

b

4p

  ③，
∵

y

x

•

y1-y2

x1-x2

=-1，即

y

x

•k=-1  ④，
又∵点M满足y=kx+b  ⑤，
由③④⑤得：（x-2p）²+y²=4p²，
而M（4P，0）满足上式，
∴点M的轨迹方程为：（x-2p）²+y²=4p²．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，重点体现了舍而不求的解题思想方法，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数关系求解，是中档题．