Question

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1 ．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn= ，求数列{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）Sn=3n2+8n， ∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=6n+5，
n=1时，a1=S1=11，∴an=6n+5；
∵an=bn+bn+1 ，
∴an﹣1=bn﹣1+bn ，
∴an﹣an﹣1=bn+1﹣bn﹣1 ．
∴2d=6，
∴d=3，
∵a1=b1+b2 ，
∴11=2b1+3，
∴b1=4，
∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1；
（Ⅱ）cn= = =6（n+1）2n ，
∴Tn=6[22+322+…+（n+1）2n]①，
∴2Tn=6[222+323+…+n2n+（n+1）2n+1]②，
①﹣②可得﹣Tn=6[22+22+23+…+2n﹣（n+1）2n+1]
=12+6× ﹣6（n+1）2n+1
=（﹣6n）2n+1
=﹣3n2n+2 ，
∴Tn=3n2n+2 ．
【解析】（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式，再求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）求出数列{cn}的通项，利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn ．