Question

【题目】函数f（x）=loga（ax+1）+mx是偶函数．
（1）求m；
（2）当a＞1时，若函数f（x）的图像与直线l：y=﹣mx+n无公共点，求n的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=loga（ax+1）+mx是偶函数．

∴f（﹣x）=f（x），

即loga（a﹣x+1）﹣mx=loga（ax+1）+mx，

即loga（ ）=﹣x=2mx，

解得：m=﹣

（2）解：令loga（ax+1）+mx=﹣mx+n，

即n=loga（ax+1）+2mx=loga（ax+1）﹣x，

n′= ﹣1= ＜0恒成立，

即n=loga（ax+1）﹣x为减函数，

∵ →+∞，

→0，

故n∈（0，+∞）

若函数f（x）的图像与直线l：y=﹣mx+n无公共点，则n∈（﹣∞，0]

【解析】（1）若函数f（x）=loga（ax+1）+mx是偶函数．则f（﹣x）=f（x），进而可得m的值；（2）令loga（ax+1）+mx=﹣mx+n，即n=loga（ax+1）+2mx=loga（ax+1）﹣x，求出函数的值域，可得答案．