Question

6．设数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-a₁，且a₃，a₂+1，a₁成等差数列．若log₂a_n+1≤71，则n的最大值等于（　　）

• A． 67
• B． 68
• C． 69
• D． 70

Answer 1

分析 S_n=2a_n-a₁，令n=1，可得：a₁=2a₁-a₁；令n=2，可得a₂=2a₁；令n=3，可得：a₃=2a₂=4a₁．由于a₃，a₂+1，a₁成等差数列．可得2（a₂+1）=a₃+a₁，代入解得a₁=2．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为a_n=2a_n-1．再利用等比数列的通项公式、对数的运算性质即可得出．

解答 解：∵S_n=2a_n-a₁，令n=1，可得：a₁=2a₁-a₁；令n=2，则a₁+a₂=2a₂-a₁，可得a₂=2a₁；令n=3，可得：a₃=2a₂=4a₁．
∵a₃，a₂+1，a₁成等差数列．∴2（a₂+1）=a₃+a₁，代入可得：2（2a₁+1）=5a₁，解得a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-a₁-（2a_n-1-a₁），化为a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为2．
∴a_n=2ⁿ．
∵log₂a_n+1≤71，
∴n+1≤71，解得n≤70．
则n的最大值等于70．
故选：D．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、对数的运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．